Геометрия-7. Начало. Часть 2

Пусть задано множество (точек) и система его частей или, иначе говоря, подмножеств (прямых). Выполнены следующие утверждения.

Аксиомы принадлежности

А1. Существует хотя бы одна прямая и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.

А2. Через две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Аксиомы расстояния

А3. Любым двум точкам А и В соответствует неотрицательное действительное число |АВ|, которое называется расстоянием от точки А до точки B. Расстояние |АВ| равно 0 тогда и только тогда, когда точки А и B совпадают.

А4. |AB|=|BA|. То есть расстояние от А до В равно расстоянию от В до А.

А5. Треугольник со сторонами a, b и с существует тогда и только тогда, когда выполняются все три неравенства: a+b> c, a+c> b, b+c> a.

Аксиомы порядка

А6. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими.

А7. Любая точка прямой разбивает ее на два не пересекающихся луча. Любой луч содержит хотя бы одну точку.

А8. Любая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Любая полуплоскость содержит хотя бы одну точку.

А9. Все точки отрезка, концы которого принадлежат полуплоскости, принадлежат этой полуплоскости. Все точки отрезка, концы которого принадлежат лучу, принадлежат этому лучу.

Аксиомы измерения

А10. Пусть задано неотрицательное число. На любом луче найдется одна и только одна точка, расстояние которой от начала луча равно этому числу. Отрезки равны тогда и только тогда, когда имеют равные длины.

А11. От любого луча в любую примыкающую к нему полуплоск ость можно отложить угол любой градусной меры от 0^>о до 180^>о. Такой угол только один. Стороны угла в 180^>о составляют прямую. Углы равны тогда и только тогда, когда имеют равные меры.

А12. Если луч ОМ проходит между сторонами ОА и ОВ какого-либо

Аксиома подвижности

А13. Задана полуплоскость (А, ВС) с примыкающим к ней лучом ВС, и другая полуплоскость (E, FG) с лучом FG. Существует одно и только одно перемещениие всей плоскости на себя, отображающее луч ВС на луч FG, а полуплоскость (A, BC) на полуплоскость (Е, FG).

Аксиома параллельных

А14. Пусть задана прямая (например, АВ). Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной к данной прямой АВ.