Все жанры Все авторы
Матрицы и программирование - Николай Морозов

Матрицы и программирование

Страниц

10

Год

2025

В данной книге продолжен практический курс по Линейной алгебре, который я веду для студентов Института культуры и искусств в Санкт-Петербурге. В процессе работы с задачами через системы программирования мы вводим в курс специфические аспекты Линейной алгебры, изложенные в моих предыдущих произведениях, таких как "Матрицы. Определители и их свойства", "Операции над матрицами с использованием MS Excel" и "Об определителях и решении систем линейных уравнений".

Важно отметить, что я стараюсь делать материал доступным и понятным, чтобы студенты могли не только осваивать теорию, но и успешно применять полученные знания на практике. В дополнение к этому, на образовательных платформах «Инфоурок» и «Знание» вы найдете ряд моих авторских материалов, включая статьи, презентации и рабочие программы, которые помогут углубить понимание данной темы.

Линейная алгебра является основополагающим элементом в многих областях науки и техники, и я стараюсь донести это до студентов, подчеркивая важность практических навыков в решении реальных задач. Благодаря тесной связи теории и практики, студенты могут увидеть, как математические концепты имеют непосредственное применение в их будущей профессиональной деятельности.

Читать бесплатно онлайн Матрицы и программирование - Николай Морозов

Введение

Этой книгой я начинаю курс практических занятий по Линейной алгебре, которые я проводил со студентами университета культуры и искусств в городе Санкт – Петербурге. Параллельно с этим, на порталах «Инфоурок « и «Знание» появились и мои авторские материалы в виде статей, презентаций, рабочих программ и т. д.

1.

Основные понятия

Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий.

Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.

Матрицы широко используются для решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, шифрования сообщений в Интернете и т. д.

Таким образом, матрица обозначается одной из заглавных букв латинского алфавита, например A, а набор ее элементов помещается в круглые скобки:



Формула матрицы

Представленная формулой (1) матрица A имеет m строк и n столбцов и называется m×n матрицей или матрицей размера m×n.

Строки матрицы нумеруются сверху вниз, а столбцы – слева направо (см. рис.1):



Рис.1.

Матричный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, называется i,j-м элементом и записывается в виде a>i>j, а выражение A = || a>i>j || означает, что матрица A составлена из элементов a>i>j. (см. рис.2):



Рис.2.

Матрица (см. рис.2.) размера 1×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой.



Рис.3.

Матрица (см. рис.3.) размера n×1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом.

Для краткости вектор-строку и вектор-столбец обычно называют просто векторами.

Особую роль играют матрицы, у которых число строк совпадает с числом столбцов, то есть матрицы размера n×n. Такие матрицы называются квадратными (см. рис.4).



Рис.4.

При ссылке на квадратную матрицу достаточно указать ее порядок. Например, матрица третьего порядка имеет размер 3x3 (см. рис.5)



Рис.5.




Рис.6.




Рис.7.



Рис.8.

Единичную матрицу обозначают буквой E или I.



Рис.9.




Рис.10.

1.1.Равенство матриц

Матрицы A = || a>i>j || и B = || a>i>j || считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие матричные элементы попарно равны:



для любых допустимых значений индексов i и j.

1.2. Умножение матрицы на число

Умножать на число можно матрицу любого размера. При умножении матрицы A на число λ каждый ее матричный элемент умножается на это число:



для любых допустимых значений индексов i и j.


В результате получим новую матрицуВ.




В результате получим матрицу 3A.




Вынесение общего можителя за знак матрицы.

1.3.Сложение матриц

Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a>i>j || и B = || b>i>j || является матрица C = || c>i>j ||, элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:



Формула операции сложения.



Результат сложения двух матриц.

Складывать (и вычитать) можно матрицы только одного размера!



Результат сложения двух матриц с учетом правила A +0 = A.

1.4.Вычитание матриц



Формула вычитания двух матриц.



1.5.Умножение строки на столбец

Пусть А = – матрица-строка размера 1×n, и пусть В – матрица-столбец размера n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы A совпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)

Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

Вам может понравиться: