Все жанры Все авторы
Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров - Дмитрий Усенков

Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров

Страниц

15

Год

2020

Теорема Виета является полезным инструментом для быстрого нахождения корней квадратных уравнений. Она позволяет избежать сложных вычислений с использованием дискриминанта. Однако, найти качественные учебные материалы, помогающие отработать навык применения формулы Виета, довольно сложно.

Ниже представлено пособие, разработанное с целью устранения этого дефицита. В нем содержится 600 примеров квадратных уравнений с целыми корнями. Также, в пособии приведены ответы к каждому примеру, что позволяет проверить решение и провести самоконтроль.

Это пособие рекомендовано для использования учителями математики, школьниками и их родителями. Оно позволит улучшить навыки решения квадратных уравнений с использованием формулы Виета и повысить понимание этой важной темы. Дополнительно, в нем содержатся практические примеры, которые помогут ученикам применить полученные знания на практике и укрепить их понимание в данной области математики.

Мы уверены, что данное пособие станет ценным инструментом для всех, кто интересуется математикой и стремится к улучшению своих знаний и навыков.

Читать бесплатно онлайн Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров - Дмитрий Усенков

Предисловие

Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.

Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.

При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.

При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.

Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.

Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.

Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

Формулировка теоремы Виета:


Сумма корней x>2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.


Таким образом, если уравнение x>2 + bx + c = 0 имеет два корня: x>1 и x>2, то справедливы следующие два равенства:




Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x>2 равен единице.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему Виета.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):






Вычислим сумму этих корней:



Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:



.


Вычислим произведение корней:



Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:



Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:



Получаем:




Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

Обратная теорема Виета

Формулировка обратной теоремы Виета:


Если числа x>1 и x>2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x>2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x>2 + bx + c = 0.


Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.

Задания для самостоятельного решения


1. x>2 – 28x + 171 = 0

2.      x>2 + 8x – 180 = 0

3.      x>2 – 10x – 75 = 0

4.      x>2 + 22x + 72 = 0

5.      x>2 + 0x – 289 = 0

6.      x>2 – 6x – 160 = 0

7.      x>2 + 1x – 30 = 0

8.      x>2 – 2

Вам может понравиться: