Все жанры Все авторы
Высшая математика. Шпаргалка - Аурика Луковкина

Высшая математика. Шпаргалка

Страниц

45

Год

2009

Краткое содержание книги:

Книга начинается с представления основных понятий о координатах и системах координат. Описывается, что координата точки определяет ее положение на плоскости или в пространстве. Зависимость координаты от начальной точки, направления и единицы измерения также рассматривается.

Далее рассматривается прямоугольная система координат, состоящая из осей ОХ и ОY, и начала координат О. Объясняется выбор масштаба и положительного направления на осях.

Затем описывается запись положения точки М с помощью абсциссы х и ординаты у, а также объясняются четыре координатных угла и их характеристики в зависимости от положения точки.

Приводится описание косоугольной системы координат, которая аналогична прямоугольной, но с пересечением осей под непрямым углом. Обе эти системы относятся к декартовой системе координат.

Далее в книге описывается полярная система координат, состоящая из полюса О, полярной оси ОХ и полярного радиуса ρ и полярного угла φ. Объясняется, что полярный угол выбирается в его главном значении от -π до π.

В конце книги приводится связь между координатами в прямоугольной и полярной системах, путем формул x = r cosφ, y = r sinφ.

Читать бесплатно онлайн Высшая математика. Шпаргалка - Аурика Луковкина

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки – это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения – начало координатО, ось ОХ – ось абсцисс, ось ОY – ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.


Рис. 1


Системы координат

Положение точки М определяется двумя координатами: абсциссой х и ординатой у. Записывается так: М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координат аналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся к декартовой системе координат.

Полярная система координат состоит из полюса О и полярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусом ρ (отрезок ОМ) и полярным угломφ. Для полярного угла берется его главное значение (от –π до π). Числа ρ, φ называются полярными координатами точки М.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат: x = r cosφ, y = r sinφ или:




Пусть имеются две точки М>1(х>1, у>1) и М>2(х>2, у>2). Расстояние между точками:



Общее уравнение прямой линии (система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0 (А и В одновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой: у = ах + b (здесь а = – А / В, b = – С / В). Здесь а есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, b равно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс: у = b, уравнение оси абсцисс: у = 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат: х = с, уравнение оси ординат: х = 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), А>3 (х>3, у>3), тогда условие нахождения их на одной прямой:



либо (х>2 – х>1) (у>3 – у>1) – (х>3 – x>1) (у>2 – у>1) = 0.

2. Пусть даны две точки А>1 (х>1, у>1), А>2 (х>2, у>2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:



(х>2 – х>1)(у – у>1) – (х – х>1)(у>2 – у>1) = 0 или (х – х>1) / (х>2 – х>1) = (у – у>1) / (у>2 – у>1).

3. Пусть имеются точка М (х>1, у>1) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у>1 = а(х – х>1).

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением

Вам может понравиться: