Все жанры Все авторы
Наибольший общий делитель (НОД) - Азамат Киреев

Наибольший общий делитель (НОД)

Страниц

10

Год

2018

Книга содержит материал по нахождению наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. В предисловии описываются четыре алгоритма для нахождения НОД, а также приводится необходимая теория и формулы. Далее представлены 29 примеров с решениями и 140 упражнений с ответами. В конце книги в таблице приведены два способа определения НОД.

Читать бесплатно онлайн Наибольший общий делитель (НОД) - Азамат Киреев

Предисловие

В данной книге приводятся четыре алгоритма нахождения наибольшего общего делителя, необходимая теория, формулы, 29 примеров с решениями, 140 упражнений с ответами.

Наибольший общий делитель (НОД) [двух чисел]

Теоретический материал

В таблице приведем два способа определения НОД.


Алгоритм №0.

Не является рациональным способом нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

Выпишем все делители чисел 32 и 24.

Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Общими делителями 24 и 32 являются: 1, 2, 4, 8.

Наибольший из них – 8. Обозначается НОД(24;32)=8.

Замечание. Вышеизложенный алгоритм №0 не является рациональным способом нахождения НОД (им можно воспользоваться в том случае если вы забыли способы нахождения НОД).

Определение 3. Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть НОД(a; b) = 1.

Иначе выражаясь, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.


Пример 3.

1) Числа 2 и 5 взаимно простые (и сами они простые);

2) 2 и 9 взаимно простые (2 – простое, 9 – составное);

3) 8 и 9 взаимно простые (и оба они составные);

Замечание. Как видно из случаев, приведенных в примере 2, понятия «простые числа» и «взаимно простые числа» не имеют особой связи между собой.

Правило. Если одно из данных чисел [36] является делителем другого числа [72], то оно [36] будет являться наибольшим общим делителем данных чисел [72 и 36].

Формулы, необходимые для алгоритма №1

Для вычисления по алгоритму №1 необходимо знать формулы





Замечание. Формулу a>0=1 мы будем использовать «справа налево», то есть 1=a>0.

Единицу мы будем представлять как 2>0, как 3>0, как 5>0, как 7>0, как 11>0, …

1=2>0, 1=3>0, 1=5>0, 1=7>0, 1=11>0, …


Алгоритм №1

Рекомендуемый способ нахождения

наибольшего общего делителя двух чисел


Алгоритм №1.

1) Разложить данные числа на простые множители;

2) выбрать наименьшие степени множителей из разложений данных чисел;

3) перемножить выбранные множители в наименьших степенях.


Кратко (для заучивания, нестрогое правило): разложить на множители, выбрать наименьшие степени, перемножить.




Пример 1. Найти НОД (18; 14).

1) Разложим на простые множители числа 18 и 14:



18=2×3>2=2×3>2×1= 2>1×3>2×7>0,

14=2×7=2>1×1×7>1=2>1×3>0×7>1.

2) В обоих разложениях множитель 2 встречается в первой степени. Значит, выписываем множитель 2>1 (НАИМЕНЬШИЙ!!!).

Множитель 3 встречается во второй и нулевой степени, значит, выписываем 3>0 (наименьший).

Множитель 7 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 7>0 (наименьший).

3) 2>1×3>0×7>0=2×1×1=2.

Ответ: НОД(18; 14)=2.


Замечание. Нулевая степень в разложении числа обозначает, что данный множитель входит в разложение числа ноль раз. Запись 18=2>1×3>2×7>0 означает, что множитель 7 входит ноль раз в разложение числа 18.


Пример 2. Найти НОД (36; 30).

1) Разложим на простые множители числа 36 и 30:



36=2>2×3>2= 2>2×3>2×1= 2>2×3>2×5>0,

30=2×3×5=2>1×3>1×5>1.

2) Множитель 2 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 2>1 (наименьший).

Множитель 3 встречается во второй и первой степени, значит, выписываем 3>1 (наименьший).

Множитель 5 встречается в первой и нулевой степени, значит, выписываем 5>0.

3) 2>1×3>1×5>0=2×3×1=6

Ответ: НОД(36; 30)=6.


Пример 3. Найти НОД (9; 10).

1) Разложим на простые множители числа 9 и 10:

Вам может понравиться: