Все жанры Все авторы
Метод конечных элементов - Дмитрий Оголихин

Метод конечных элементов

Страниц

10

Год

2018

Один из распространённых мифов среди инженеров – то, что для работы с МКЭ необходимо обладать специфическими знаниями и использовать дорогостоящие программы вроде Ansys или Nastran. Но на самом деле метод конечных элементов (МКЭ) может быть таким же понятным и доступным, как и обычный сопромат. Книга "Основы метода конечных элементов: простым языком" призвана развеять эти страхи и показать, что МКЭ – это нечто несложное, что может освоить каждый. В ней содержится всё необходимое для понимания и применения метода конечных элементов в практических задачах. Авторы делятся своим опытом и глубокими знаниями, чтобы помочь инженерам использовать этот мощный инструмент в своей работе.

Читать бесплатно онлайн Метод конечных элементов - Дмитрий Оголихин

Введение

Метод конечных элементов – один из т. н. сеточных методов. Такие методы предполагают рассмотрение цельной конструкции как совокупности отдельных конечных элементов, как показано на рисунке 1.


Рисунок 1. Разбиение конструкции на конечные элементы. а – нумерация конечных элементов; б – нумерация узлов.


В качестве конечных элементов выступают знакомые нам из сопротивления материалов и строительной механики стержни, балки, плиты, оболочки и т. п. По сути своей решение методом конечных элементов сводится к решению уравнения задачи в динамической постановке:

M∙d>2u/dt>2+C∙ du/dt+K∙u = P

где M – матрица масс конструкции;

C – матрица демпфирования конструкции;

K – матрица жёсткости конструкции;

d>2u/dt>2 – вектор ускорений узлов конструкции;

du/dt – вектор скоростей узлов конструкции;

u – вектор перемещений узлов конструкции;

P – вектор узловых нагрузок.


Если вектор узловых сил P не меняется во времени, то задача сводится к статической, описываемой уравнением:

K∙u = P

Так как многие задачи в машиностроении сводятся к статическим, то упор в книге будет делаться на них. Для рассмотрения задач будет использоваться среда MathCad 15.

Алгоритм МКЭ

Для того, чтобы решить уравнение необходимо провести предварительную подготовку. В общем и целом, алгоритм решения выглядит следующим образом:

1) Разбиение конструкции на конечные элементы;

2) Составление матрицы жёсткости каждого конечного элемента;

3) Перевод матрицы жёсткости из локальной системы координат в глобальную;

4) Составление глобальной матрицы жёсткости всей конструкции;

5) Приведение нагрузок к узловым;

6) Учёт закреплений;

7) Решение уравнения:

u = K>-1∙P

Операция 1, на взгляд автора, интуитивно понятная и не требует пояснений.

Операции 2–6 будут подробно рассмотрены ниже.

Операция 7 будут рассмотрена подробно в примерах.

Составление матрицы жёсткости КЭ

Матрица жёсткости связывает перемещения узлов с узловыми силами, как уже говорилось в введении. Размер матрицы жёсткости N определяется количеством узлов и степенью свободы для каждого узла по формуле:

N = n∙d

где N – размер матрицы жёсткости;

n – количество узлов в элементе;

d – количество степеней свободы элемента.


Например, для стержневого (ферменного) элемента, имеющего n = 2 узла, который по определению может только растягиваться или сжиматься, количество степеней свободы d = 1. Таким образом, N = n∙d = 2∙1 = 2. Матрица жёсткости будет иметь вид:


где K – матрица жёсткости;

k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости.


Для конечных элементов, у которых количество степеней свободы больше единицы удобней представлять матрицу жёсткости поблочно. Например, для конечного элемента, у которого количество узлов n = 2 и количество степеней свободы d = 3матрицу жёсткости удобно представлять в виде:


где K – матрица жёсткости, размером [n×n]

k>11, k>12, k>21, k>22– элементы матрицы жёсткости, которые из себя так же представляют матрицы размером [d×d]:



Такое представление матрицы жёсткости позволит легко и удобно получить матрицу жёсткости всей конструкции.

Матрица жёсткости, обычно, составляется в локальной системе координат этого элемента. Для перевода матрицы жёсткости в глобальную систему координат используется матрица направляющих косинусов по формуле:

K>глоб = Λ>T∙K∙Λ

где K>глоб – матрица жёсткости в глобальной системе координат;

Вам может понравиться: